六年级数学论文

无理数是实数中不能精确表示为两个整数之比的数，即无限非循环小数。比如圆周率，2的平方根等。

有理数都是分数和整数，可以转换成有限小数或者无限循环小数。如7/22等。

实数可分为有理数和无理数。

无理数和有理数的区别:

1.当有理数和无理数都写成小数时，有理数可以写成有限小数和无限循环小数。

例如，4 = 4.0，4/5 = 0.8，1/3 = 0.33333...而无理数只能写成无限无循环小数。

比如√2 = 1.414213562..............................................................................................................................

2.所有有理数都可以写成两个整数的比值；而无理数不行。据此，有人建议给无理数贴上“不合理”的标签，有理数改名为“比较数”，无理数改名为“非比较数”。毕竟无理数不是没有道理，只是一开始人们对它了解不多。

利用有理数和无理数的主要区别，可以证明√2是无理数。

证明:假设√2不是无理数，而是有理数。

由于√2是有理数，所以必须写成两个整数之比:

√2=p/q

由于P和Q没有公因数可减，p/q可以认为是最简单的分数，即最简单的分数形式。

平方√2 = P/q的两侧。

得到2 = (p 2)/(q 2)

也就是2 (q 2) = p 2。

因为2q^2是偶数，所以p一定是偶数。设p=2m。

从2 (q 2) = 4 (m 2)

Q 2 = 2m 2。

同理，q一定是偶数，设q=2n。

由于P和Q都是偶数，所以它们必须有一个公因数2，这与之前p/q是最简分数的假设相矛盾。这个矛盾是因为假设√2是有理的。所以√2是一个无理数。

[编辑本段]出处

毕达哥拉斯(约公元前885年至公元前400年)从小就很聪明。有一次他背着柴火走在街上，一个上了年纪的人看到他捆柴火的方法和别人不一样，就说:“这孩子在数学方面很有天赋，将来一定会成为大学者。”听了这话，他丢下柴火，横渡地中海，到特列斯门求学。毕达哥拉斯非常聪明。在泰勒的指导下，许多数学问题被他解决了。其中，他证明了三角形内角之和等于180度；可以算出来，如果要用瓷砖铺地，只有正三角形、正四边形、正六边形三种正多边形的砖，才能刚好铺地。还证明了世界上只有五种正多面体，即正4，6，8，12和二十面体。他还发现了奇数、偶数、三角数、四边形数、完全数、友谊数，直到毕达哥拉斯数。但他最大的成就是发现了后来以他的名字命名的勾股定理(毕达哥拉斯定理)，即直角三角形的两条直角边的正方形的面积之和等于斜边的正方形的面积。据说毕达哥拉斯看到工匠们在神庙里用方砖铺地板，经常要计算面积，就发明了这种方法。

毕达哥拉斯熟练运用数学知识后，觉得不能仅仅满足于解决问题，于是试图从数学领域扩展到哲学领域，从数的角度解释世界。经过一番苦练，他提出了“万物皆数”的观点。数的元素是万物的元素，世界是由数组成的。世界上的一切都不能用数字来表达，数字本身就是世界的秩序。毕达哥拉斯也在自己周围建立了青年兄弟会。在他死后大约200年，他的门徒发展了这个理论，并形成了一个强大的毕达哥拉斯学派。

一天，学校的成员们刚刚结束一场学术研讨会，正乘游轮出来欣赏风景，以此来驱散一天的疲劳。这一天，是个晴天，海风轻轻吹来，掀起层层波浪。每个人都非常高兴。一位大胡子学者望着浩瀚的大海激动地说:“毕达哥拉斯先生的理论一点也不差。“你看波浪层层叠叠，有峰有谷，就像奇数和偶数一样。世界是数字的秩序。”“对，对。”这时一个正在划船的大个子走了进来，说道:“我们来谈谈这条船和大海吧。用船测量海水肯定会得到一个准确的数字。一切都可以用数字来表示。”

“我不这么认为。”这时，船尾的一位学者突然问了一个问题。他平静地说:“如果最后不是整数呢？”

“那是小数。”“小数不能整除循环怎么办？”

“不可能，世界上的一切都可以用数字直接准确的表达出来。”

这时，秀才用一种不想再争论的语气平静地说:“不是世界上的一切都可以用我们现在知道的数字来表达的。以毕达哥拉斯先生研究最多的直角三角形为例。如果是等腰直角三角形，你就无法用一条直角边精确地测出斜边。”

提出这个问题的学者叫希帕索斯，是毕达哥拉斯学派中一位聪明、勤奋、独立的数学家。如果不是因为今天的争论，我不会想表达我的新观点。一听这话，划水的大个子停下来喊道:“不会吧，先生的理论哪里都适用。”希帕索斯眨着灵动的眼睛，伸出双手，把两个逃跑比作一个等腰直角三角形。

"如果直边是3，斜边是多少？"

"4。"

“更准确？”

"4.2。"

“更准确？”

"4.24。"

“更准确？”

大个子满脸通红，一时答不上来。希帕索斯说:“你不能在未来数出10位数或20位数，这是最准确的。我计算过很多次，任何等腰直角三角形的一边和另一边都不能用一个准确的数字来表示。”这犹如晴天霹雳，全船立刻爆发出一片怒吼:“你竟敢违背毕达哥拉斯先生的理论，破坏我们学校的信条！“敢于相信数字就是世界！”希帕索斯这时非常平静。他说，“这是一个新发现。甚至毕达哥拉斯先生在世时也会奖赏我。你可以随时核实。”但人们不听他的解释，愤怒地喊道:“谋反！先生的无良弟子。”“杀了他！批死他！”大胡子冲上去，一拳打在他的胸口。希帕索斯抗议道:“你无视科学，你太不讲理了！”“卫道士的信条永远是正当的。"这时，大个子也冲了过来，一下子把他拎了起来:"给你一个最高奖赏！”他说着，把希帕索斯扔进了海里。蓝色的大海很快淹没了他的身体，再也没有出来。这时天上飘着几朵白云，海边有几只水鸟经过。一场风暴过后，地中海的海边似乎又恢复了宁静。

一个非常有才华的数学家就这样被奴隶专制的学者毁掉了。但确实让人看到了希帕索斯的思想价值。经过这件事，毕达哥拉斯学派成员才真正发现，不仅等腰直角三角形的直角边不能测斜边，圆的直径也不能测周长。那个号码是3.141592653589726...而且永远不会准确。慢慢地，他们感到后悔，后悔杀死希帕索斯的不合理行动。他们逐渐明白，直觉不是绝对可靠的，有些事情必须用科学来证明；他们明白，在过去，除了数字“0”和自然数等有理数之外，还有一些无限的非循环小数。这确实是一个新发现的数——应该叫“无理数”。这个名字反映了数学的本来面貌，但也真实记录了毕达哥拉斯学派的傲慢。

无理数引发的数学危机一直持续到19世纪。1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，通过有理数的“除”来定义无理数，将实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理数”的时代和持续了两千多年的数学史上的第一次大危机。

[编辑此段]教训和反思

科学不等于神圣。科学家不等于道德高尚。这样的教训古今都有。公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派(希帕索斯)的弟弟发现了无理数，但被老师处死。

历史的教训是为了教育人类。今天，科学完全走出政治权力和李森科的阴影，对人类来说仍然是一项艰巨的任务。控制论的创始人诺伯特·维纳(norbert wiener)的话提供了对这一事件的反思:“科学是一种生活方式，只有当人们拥有信仰自由时，它才能蓬勃发展。基于外部命令而被迫服从的信仰不是信仰。建立在这种错误信念基础上的社会必然会因麻痹而走向灭亡，因为在这样的社会里，科学没有健康成长的基础。”

事实上，科学存在和发展的一个永恒问题就是标准与创新的矛盾。一方面，科学知识的出现必然会形成判断对错的相关标准。另一方面，科学认识的过程就是突破原有标准的过程，因此必然会受到原有标准的限制或压制。这就要求我们更深刻地反思两种科学悲剧:一种是执行错误标准造成的后果；另一个是肆意创新造成的人道主义灾难。聂温韬在《基层医院适宜技术培训》的演讲中说:在糖尿病“限量碳水化合物”膳食标准(约翰罗洛标准)实施到重新实施“高碳水化合物”标准(如北京协和医院标准)期间，无数患者因为错误的糖尿病膳食治疗而进一步丧失健康。医学界应该如何面对这样的局面？这次演讲引起的强烈震动，正是因为他提出了一个深刻的科学伦理问题。

斯蒂芬·茨威格在《异端的权利》原著中的两段话:“(卡斯特里奥和加尔文)在这场战争中，有一个大得多的、永恒的生死问题。”“每个国家，每个时代，每个有思想的人都要多次确定自由与权力的边界。因为，如果没有权力，自由就会堕落为放纵，混乱就会随之而来；另一方面，除非给予自由，否则权力就会变成暴政。”这两段话隐藏了以下意思:(1)所有持有异端观点的人都要证明自己的权利，或者说所有反对异端观点的人都要提供证据；(2)所有持有异端观点的人，都需要证明自己的正确性，而不必抱怨之前社会的不理解。(3)所谓科学发展的意义在于改变人类原有的认识。所以，错误的选择是对的，否则就没有科学探索的合理性。

黄金分割

最近在家里翻数学杂志，发现有黄金分割。查阅了很多资料，发现是一个完美的数字。我很好奇，就去网上找了关于黄金分割的知识，总结如下。

将一条线段分成两部分，使一部分与总长度的比值等于另一部分与这一部分的比值。它的比值是一个无理数，前三位的近似值是0.618。因为按照这个比例设计出来的形状非常漂亮，所以叫黄金分割，也叫中外比。这是一个非常有趣的数字。我们用0.618来近似，通过简单的计算就可以找到:

1/0.618=1.618

(1-0.618)/0.618=0.618

这种价值的作用不仅体现在绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理和工程设计中也发挥着重要作用。现在科学研究表明，0.618的位置往往成为自然界乃至生命的最佳状态。

先说一个数列，前几个数字是:1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144...这个系列的名字是”。特点是除了前两个数外，每个数都是前两个数之和(数值为1)。

斐波那契数列和黄金分割有什么关系？发现相邻两个斐波那契数之比随着数列的增加逐渐趋于黄金分割比例。即f (n)/f (n-1)-→ 0.618。因为斐波那契数都是整数，而且两个整数的除法的商是有理数，只是在逐渐接近黄金分割比的无理数。但是当我们继续计算更大的斐波那契数时，就会发现相邻两个数的比值真的非常接近黄金分割比。

一个很能说明问题的例子是五角星/正五边形。五角星很漂亮。我们的国旗上有五颗，很多国家的国旗上也用五角星。为什么？因为五角星里能找到的所有线段的长度关系都符合黄金分割比例。在正五边形的对角线满了之后出现的所有三角形都是黄金分割三角形。

由于五角星的顶角为36度，因此也可以得出黄金分割值为2Sin18。

黄金分割约等于0.618: 1。

利用线段上的两个黄金点，可以做出一个正五角星和一个正五边形。

2000多年前，古希腊雅典学派第三大数学家奥多克斯·萨斯(Odox Sass)首先提出了黄金分割。所谓黄金分割，是指将长度为L的线段分成两部分，使一部分与整体的比例等于另一部分的比例。计算黄金分割最简单的方法是计算斐波那契数列最后两个数的比值1，1，2，3，5，8，13，21，...2/3, 3/5, 4/8, 8/65438.

文艺复兴前后，黄金分割由阿拉伯人传入欧洲，受到欧洲人的欢迎。他们称之为“黄金方法”，欧洲17世纪的一位数学家甚至称之为“各种算法中最有价值的算法”。这种算法在印度被称为“三率法”或“三数法则”，也就是我们现在常说的。

其实“黄金分割”在中国也有记载。虽然没有古希腊那么早，但是是中国古代数学家独立创造的，后来传入印度。经过考证。欧洲比例算法起源于中国，由阿拉伯经印度传入欧洲，并非直接来自古希腊。

因为它在造型艺术中具有审美价值，在工艺美术和日用品的长宽设计中能引起人们的美感，在现实生活中也有广泛的应用。建筑内部分线段比例科学采用黄金分割，台上播音员不是站在舞台中央，而是站在舞台侧面，站在舞台长度黄金分割处的位置最美，声音传播最好。即使在植物界，也使用黄金分割。如果你从一根小树枝的顶端往下看，你会看到树叶是按照黄金分割定律排列的。在许多科学实验中，经常采用一种0.618的方法来选择方案，即最优化方法，使我们能够合理地安排较少的实验，找到合理的西方和合适的工艺条件。正是由于它在建筑、文学艺术、工农业生产和科学实验中的广泛而重要的应用，人们称之为黄金分割。

黄金分割是一种数学比例关系。黄金分割比例严谨，艺术和谐，蕴含着丰富的审美价值。一般在应用中是0.618，就像pi在应用中是3.14一样。

发现历史

早在2000多年前，古希腊数学家欧多克索斯就发现，如果把一段长度分成两部分，如果小部分的长度与大部分的长度之比等于大部分的长度与总长度之比，那么这个比值就等于0.618。

欧几里得在公元前300年左右写《几何原本》时，吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统地论述了黄金分割，成为最早的关于黄金分割的论著。

公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统地研究了这个问题，建立了比例理论。

自从公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究了正五边形和正十边形的画法后，现代数学家得出结论，当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。

中世纪以后，黄金分割披上了神秘的外衣，几个意大利人帕乔利把中国与终点的比称为神圣，并就此著书立说。德国天文学家开普勒称黄金分割是神圣的。

直到19世纪，黄金分割这个名称才逐渐流行起来。黄金分割数有很多有趣的性质，也被人类广泛使用。最著名的例子是最优化中的黄金分割法或0.618法，由美国数学家基弗于1953年首先提出，并于70年代在中国推广。

稍加留意就会发现，节目主持人如果站在舞台长度占0.618左右的位置，会显得比较优雅，但如果站在中间，就会显得呆板。对于一个身材匀称的人，从膝盖到脚趾的长度与从肚脐到脚底的长度之比也是0.618。

有趣的是，人们认为音乐也有“黄金分割”。数学家对莫扎特的音乐进行过分析:莫扎特的每一首钢琴协奏曲都可以分为两个部分，展示部分和扩展-再现部分。如果计算节拍数的话，第一部分和第二部分的节拍数比例几乎和黄金分割一模一样。

0.618也可用于健康长寿。人的正常体温是37℃，0.618的乘积是22.8℃，所以人在环境温度为22℃到24℃时感觉最舒适，此时人体的新陈代谢、生理节律、生理机能都处于最佳状态。人的动与静也要保持0.618的比例关系，大致是四班六分静，这是最好的养生长寿方式。

就像圆周率一样，一般情况下，记到3.14就够了，但只在工程中使用。只有在航空航天等领域，才有可能用到小数点后几十位、几百位。